תרגיל אמצע הסמסטר - פתרונות

Transcript

1 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 פיסיקה כללית : חשמל ואופטיקה לתלמידי ביולוגיה חשמל ואופטיקה 774, תשס"ו - פתרונות 1 מטענים, שדות ופטנציאלים (5) ו- am µc נגדיר d האלכסון בין הקודקודים B המרחק בין הנקודה לקודקודים הרחוקים א את חישוב יש לעשות, כמובן, על-פי עיקרון הסופרפוזיציה, על-יד סכום (וקטורי) של הכוחות משלושת המטענים האחרים סופרפוזיציה מגלה לנו מיד את כיוון הכוח השקול, מבלי שנזדקק לחישוב וקטורי מפורש: ראשית, נחשב את הכיוון של הכוח המשוקלל שמפעילים שני המטענים השליליים ברור שהכוח בין מטען חיובי למטען שלילי הוא מושך לכיוון שבין שני המטענים, ולכן הכוחות שפועלים על המטען החיובי הם: - - F r 1 F r (כוח אחד בכיוון ˆx, כוח אחד בכיוון + ŷ ) ברור שהכוחות שווים בגודלם (שני המטענים השליליים שווים בגודלם ובמרחקם מהמטען החיובי), ולכן הכוח המשוקלל שלהם יהיה בכיוון של 45 בין שני הכוחות: F r r r F 1 + F F r F r 1 F r 1

2 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 כלומר, הכוח המשוקלל שמפעילים שני המטענים השליליים הוא בכיוון הקודקוד המנוגד (המטען החיובי) הכוח בין שני המטענים החיוביים הוא, כמובן, דוחה מכוון בכיוון ההפוך לכיוון בין המטענים F r כלומר, הכוח שמפעיל המטען החיובי הרחוק (בפינה השמאלית למעלה) מכוון פשוט בכיוון המנוגד לכוח המשוקלל שמפעילים שני המטענים השליליים חישוב הכוח הכולל הופך לטריוויאלי: F r F 1 עוצמת הכוח שמפעיל כל אחד מהמטענים (עוצמה בלי הכיוון) היא k ( ) ( ) ( a) k 4a ( ) ( ) ולכן עוצמת הכוח המשוקלל של שניהם מתקבלת, לפי משפט פיתגורס, r r 6 F + F F + F 141 N d עוצמת הכוח שמפעיל מטען F r k 1 1 (a) + a ( 8485m ) המרחק אל המטען החיובי הוא זה היא, לכן: 6 ( ) ( ) 9 ( ) 4 k 9 5 N 1 d 8a 1 8 וכפי שמצאנו, הכוח המשוקלל הוא ההפרש r r r r r r 4 F + F + F F + F F 914 N בכיוון אל הקודקוד המנוגד של הריבוע (אילו הייתה יוצאת תוצאה שלילית המשמעות היא בכיוון ההפוך מהקודקוד) שימו לב שהעובדה שהמטענים השליליים "מנצחים" את המטען החיובי מבחינת הפעלת הכוח על המטען בצד ימין למטה הגיונית הגודל של כל המטענים שווה, אך למטענים השליליים שני יתרונות : הם שניים (לעומת רק אחד), והם קרובים יותר למטען בצד ימין למטה וודאו שאתם מבינים: הסבירו לעצמכם מהו הכוח (עוצמה וכיוון) הפועל על כל אחד מהמטענים האחרים שימו לב שכבר לא צריך לחשב כלום N

3 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 ב ג גם את השדה בנקודה A אנו מוצאים בעזרת סופרפוזיציה, אבל כאן לא צריך לחשב דבר הסתכלות נכונה בבעייה זו היא להפריד לסופרפוזיציה של השדה מהמטענים החיוביים בלבד, ולסופרפוזיציה של השליליים בנפרד, ואז לעשות סופרפוזיציה סופית (כמו בכל חיבור, הסדר שבו עושים את הסופרפוזיציה איננו חשוב) בנקודה A השדה המשוקלל מהחיוביים בלבד הוא, כמובן, אפס כי נמצאים באמצע הדרך בין שני מטענים זהים כל אחד מפעיל ב- A שדה שווה בעוצמתו אך הפוך בכיוונו השיקול לגבי המטענים השליליים בדיוק זהה, כמובן, ולכן גם הסופרפוזיציה של שניהם יוצרת שדה אפס בנקודה A והתוצאה הסופית היא, לכן, שבנקודה A השדה הוא אפס בדיוק (לשדה אפס אין כיוון) גם בנקודה B נבנה את השדה בעזרת סופרפוזיציה הפעם נוח לעבוד בזוגות, ראשית את שני המטענים בצד ימין ואחריהם את שני המטענים בצד שמאל ברור שהשדות שמפעילים שני המטענים בצד ימין שווים גם בגודלם וגם בכיוונם הגדלים שווים, כי מדובר במטענים בעלי גודל שווה המצויים במרחק שווה מהנקודה B והכיוון זהה, כי השדה שמפעיל המטען החיובי יוצא ממנו, כלומר מכוון מ- B בכיוון y+; והשדה שמפעיל המטען השלילי נכנס אליו, כלומר גם כן מכוון מ- B בכיוון y+ העוצמה של השדות שמפעילים שני המטענים בצד ימין היא, כמובן r E R+ r E R+ k a ĵ ; r E R+ r + E R 6 9 k ĵ 9 4 N/C ĵ a ĵ כאשר הוא וקטור היחידה בכיוון y+ ועכשיו לשני המטענים בצד שמאל ראשית, נשים לב שיש לנו פשוט דיפול חשמלי, שהנקודה B נמצאת על הציר הניצב לדיפול היוצא ממרכזו את המרחק של כל אחד מהמטענים קל למצוא לפי משפט פיתגורס θ E r R+ E r - E r R E r tot B E r - + ( a) + a 5 671m a בכיתה מצאנו רק את השדה רחוק מהדיפול, וכאן עלינו למצוא פתרון מלא נתחיל מכיוון השדה, כי ברור שהכיוון המשוקלל של השדות משני המטענים בצד שמאל הוא בכיוון ציר ה- y, הפעם בכיוון y הסיבה היא, שהעוצמה של השדות משני המטענים ב- B זהה (אותו גודל של מטען ובאותו מרחק מ- B ) רכיבי השדה בכיוון x מתקזזים (כפי שניתן לראות בציור) ואילו רכיבי השדה בכיוון y מתווספים זה לזה הקיזוז בכיוון ציר ה- x אכן מאפיין דיפול חשמלי ומובן מאליו: בכל נקודה הנמצאת על הישר היוצא ממרכז הדיפול בכיוון המאונך לכיוון הדיפול המטען החיובי דוחה (ימינה בציור) באותה מידה שהמטען השלילי

4 4 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 מושך (שמאלה בציור) השדה נטו הוא מקביל לכיוון הדיפול ומכוון הפוך מכיוון הדיפול (מהמטען החיובי לשלילי) מהו רכיב השדה בכיוון y מכל אחד מהמטענים בצד שמאל? נבחן לדוגמא את המטען החיובי השדה ממנו בנקודה B הוא r E + k cosθ î k sin θ ĵ כאשר î הוא וקטור היחידה בכיוון x+ הערך של הזווית θ הוא כמובן θarctan(a/a)arctan(½)6565 ואילו sinθ447 מכאן אנו מוצאים r r + cos E+ E k θ î k sin θ ĵ- k cosθ î k sin θ ĵ k sin θ ĵ ĵ 578N/C ĵ טוב, עכשיו הכל כבר פשוט השדה הכולל הוא פשוט סופרפוזיציה של שתי הסופרפוזיציות שני השדות הם בכיוון, ĵ אחד חיובי (שעוצמתו גדולה יותר) התוצאה הסופית היא r E tot k ( 1 sin θ) ĵ ĵ 64N/C ĵ ברור גם מדוע המטענים הימניים "ניצחו" יש שני זוגות של מטענים, והזוג הימני קרוב יותר לנקודה B, ולכן השדה המשוקלל שלהם חזק יותר ד גם את הפוטנציאל בנקודה B צריך לבנות בסופרפוזיציה, אבל הפעם אין צורך בחישובים הפוטנציאל במרחק R מחלקיק בעל מטען Q הוא פשוט kq/r לכן, אם יש שני מטענים Q ו- Q - המצויים שניהם במרחק R מנקודה מסויימת, הפוטנציאלים שלהם מתקזזים לחלוטין ואמנם, ראינו בכיתה שבכל נקודה על הישר הניצב לכיוון הדיפול ויוצא ממרכז הדיפול הפוטנציאל הוא אפס בבעייה שלנו יש שני דיפולים (הזוג הימני והזוג השמאלי), והעיקרון של התקזזות הפוטנציאלים פועל פעמיים הפוטנציאל ב- B הוא אפס גם אם תכתבו את הפוטנציאל בצורה מפורשת כסכום של ארבעת הפוטנציאלים מארבעת המטענים תראו מיד את הקיזוז: V tot VR+ + VR + V+ + V k a + k + a k + k

5 5 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 ה לא כתבנו במפורש, אבל ברור שהכוונה כאן היא להתייחס לבניית המערכת על-ידי הבאת המטענים ממרחק אינסוף זה מזה נבנה את המערכת בשלבים: הבאת המטען הראשון (לא חשוב איזה) לא עולה אנרגיה החיוביים (התוצאה הסופית לא תלוייה בכך, כמובן) נאמר שבחרנו את אחד נביא מטען שני, ונבחר מטען שלילי, כך שעלינו למקם אותו בקודקוד סמוך האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת עכשיו שלילית (קירבנו מטען חיובי ומטען שלילי מאינסוף למרחק a) וערכה U k a 1 k a נדגיש שוב היינו מקבלים אותה תוצאה אם היינו מביאים קודם מטען שלילי ואחר-כך מטען חיובי נביא עכשיו את המטען השלילי השני יחסית למטען החיובי, פוטנציאלית שלילית, בדיוק כמו בין שני החלקיקים הראשונים U1 U1 k a 8a שוב מתקבלת אנרגיה לעומת זאת קירוב שני המטענים השליליים זה לזה מביא לאנרגיה פוטנציאלית חיובית, שערכה: U k הערך במכנה הוא, כמובן, המרחק בין קודקודים מנוגדים 8a כשנביא את המטען הרביעי כבר אפשר להשתמש בסימטריה של הבעייה: המצב של המטען הרביעי יחסית לשני ולשלישי הוא של מטענים מנוגדים במרחק a זה מזה, ויחסית לחלקיק הראשון הוא של מטענים זהים במרחק 8a זה מזה כלומר: U 4 U4 k ; U14 U k a והאנרגיה הפוטנציאלית הכללית היא פשוט סכום כל הזוגות: U U + U + U + U + U + U k + k tot a 8 a k 4 + a ( ) Joule חשוב להדגיש כי התוצאה של אנרגיה שלילית הייתה צפוייה יחסית למרחק אינסופי בין המטענים, קירבנו את המטענים כך שכל אחד רואה שני מטענים בסימן מנוגד אליו במרחק a ממנו, ורק מטען אחד בסימן שווה לשלו, ובמרחק גדול יותר ממנו לכן ברור שהורדנו את האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת, כלומר הרווחנו אנרגיה

6 6 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 ו הקטנה של המרחק בין המטענים כך ש- a1m מחזקת עוד יותר את המגמה של הסעיף הקודם: קירוב מטענים מנוגדי סימן במידה גדולה יותר מקירוב מטענים שוני סימן לכן נרוויח עוד אנרגיה והתוצאה שנקבל תהיה אנרגיה פוטנציאלית נמוכה עוד יותר (שלילית יותר שלילית עם ערך מוחלט גדול יותר) אגב, קל לראות שזו אמנם המגמה מהמשוואה האחרונה של הסעיף הקודם קיבלנו גודל שלילי, הכופל מקדם המכיל את a/1 אם a קטן המקדם הזה גדל והערך של U tot אכן נעשה יותר שלילי

7 7 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 א חוק אוהם () כזכור ההתנגדות של עצם שווה להתנגדות הסגולית כפול אורך העצם לחלק לשטח שלו צריך רק להקפיד להעביר את היחידות של השטח: 1cm 4- m R A 4 Ω ב לצורך חישוב המתח, פשוט צריך להשתמש בחוק אוהם: V ir 5 4 5V במוליך אחיד, היחס בין המתח כלומר הפרש הפוטנציאלים בין הקצוות הוא פשוט המכפלה של השדה באורך המוליך כלומר V V E E 5V 1m V 5 m הריקמה היא אמנם מוליך, אך יש בה שדה חשמלי הטענה שהשדה החשמלי בתוך מוליך הוא אפס נכונה רק כאשר אין על המוליך מפל מתח (כלומר, כל המקומות במוליך הן בפוטנציאל חשמלי זהה) המעגל החשמלי שלנו מכתיב הפרש מתחים, (x) (1-5x/) ג ואם אמנם רקמת השריר זרם חשמלי (מוכתב) i x ההתנגדות הכוללת בפועל של הרצועה, שאותה נסמן ב- R, 1 נסמן אינטגרציה על האורך: מתקבלת, כמובן, על-ידי x 1 x 1 R dx x 5 75Ω A A A 4 4A חשוב חשוב חשוב חשוב - חשוב חשוב חשוב חשוב - חשוב חשוב אנא שימו לב ש- dx באינטגרל הוא גודל בעל יחידות של אורך אנחנו בעצם עושים אינטגרציה לאורך הריקמה ואוספים עוד ועוד התנגדות; כל קטע של הריקמה נותן התנגדות משלו, שערכה ( ) ( x) x dr x, x + dx dx 1 5 dx A A x x

8 8 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 ד בתשובות שלכם הופיעו שוב ושוב שתי שגיאות קונספטואליות בעניין זה: אין צורך לעשות אינטגרציה (x)dx ואחר-כך להכפיל ב- ולחלק ב- A, ובוודאי שאין להכפיל את האינטגרל שנותן את R 1 ב- האינטגרציה (x)dx איננה נותנת איזהשהוא אפקטיבי היא נותנת גודל עם יחידות של אוהם כפול מטר בריבוע! (x)) מביא יחידות של אוהם כפול מטר, וההכפלה ב- dx נותנת עוד יחידות של מטר) אנו ממליצים מאוד שכל מי שאיבד נקודות על סוגיה זו (וגם מי שהצליח) יוודא שהנקודה הזו ברורה הפרש הפוטנציאלים בין שני קצוות הרצועה מתקבל כמו קודם, בעזרת חוק אוהם הזרם הוא אותו זרם, אך יש לתקן את ההתנגדות ולכן הפרש הפוטנציאלים הוא: V1 ir V בסעיף זה האתגר המיועד היה שימוש בקשר בין פוטנציאל לשדה אלא, שכפי שרבים מכם שמתם לב, אפשר גם להשתמש בקשר המיקרוסקופי (שנכון נקודתית בכל מקום במוליך) i x i, E( x) ( x) J ( x) x V/m A A וכך מתקבל השדה באופן מיידי ופשוט הפתרון הזה לגיטימי, ומי שבחר בו קיבל את מלוא הנקודות עם זאת, מומלץ להסתכל גם על הדרך הארוכה, כדי לוודא שאתם מבינים את הדקויות שבהגדרת הפוטנציאל וחישוב השדה לפי הפוטנציאל השדה החשמלי איננו קבוע בתוך הריקמה, כי היא מהווה מוליך לא אחיד לכן אסור להשתמש ב- VE כדי לפתור את השדה עלינו להשתמש בעובדה שהשדה בכל מקום קשור לנגזרת של הפוטנציאל לפי הקשר E ( x) dv dx ( x) מהו?V(x) הפואנטה כאן איננה האלגברה כשלעצמה, אלא כיצד לכתוב את הביטוי המתאים לפוטנציאל יש לזכור שאנו משתמשים בסימון V בשני אופנים לא זהים: בחוק אוהם, אותו כתבנו למעלה, V הוא הפרש הפוטנציאלים, כלומר המתח, בין שני קצוות הריקמה: ההפרש בין הקצה אליו נכנס הזרם אל הקצה שממנו הוא יוצא בהקשר זה תמיד מדברים על V חיובי בביטוי ל-( E(x, V הוא ערכו של הפוטנציאל ב- x שיכול גם להיות שלילי שימו לב שאין כאן סתירה של ממש: ערכו של הפוטנציאל הרי מוגדר עד כדי קבוע, שאותו כדאי לבחור בהתאם לבעייה בשאלה 1 בחירה טבעית היא שהפוטנציאל באינסוף שווה לאפס; כאן אפשר לבחור שהפוטנציאל בקצה הראשון של הריקמה (x) הוא אפס ערכו של הפוטנציאל בקצה השני של הריקמה הוא אז V()V 1 75V- (הוא אכן שלילי הזרם זורם מהפוטנציאל הגבוה לנמוך!) לחילופין, אפשר להשתמש בידיעה שהפרש הפוטנציאלים הוא 75V, ולכן לקבוע שזהו הפוטנציאל בקצה הראשון של הריקמה, ואז הפוטנציאל בקצה השני הוא אפס בכל מקרה, שימו לב שאם הזרם זורם בכיוון x, אז הנגזרת של הפוטנציאל היא שלילית (כי הפוטנציאל יורד בכיוון שהזרם נע)

9 9 x פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 בתוך הריקמה, הפוטנציאל כפונקציה של הריקמה ועד המקום x, כלומר: מתקבל לפי הפעלת חוק אוהם מתחילת V x x 1 x ( x) ir( x) i 1 5 dx i x 5 i x A A A 4 x x x x שימו לב ש-` x הוא משתנה האינטגרציה ו- x הוא הגבול הרחוק של האינטגרציה בשביל למצוא את השדה: נגזור ( x) dv d x E( x) i x 5 i 1 5 dx dx A A 1 E( x) 5 4 ואם נרשום את כל המספרים המתאימים אז x x V ( 5x) m כאשר x נמדד במטרים ה על כל קטע של הרצועה ניתן להגדיר משטח גאוסי גלילי, שהקיפו כהיקף הרצועה ושני הבסיסים שלו ניצבים לגליל E r dx E r R (הפוטנציאל כאמור יורד מהקצה שבו x לקצה שבו,x זיכרו שמטענים חיוביים נעים מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך; לכן השדה מכוון מ- x ל- x ) ברור שהשטף דרך הדופן של הגליל הוא אפס (השדה מכוון מקביל לכיוון הרצועה), ולכן השטף דרך המשטח הוא r r E da ( E E )A ) E מכוון פנימה, E R מכוון החוצה) כזכור, משפט גאוס קובע שהשטף דרך המשטח פרופורציוני למטען נטו שמוכל בתוכו (עם מקדם פרופורציה של ε) לפי סעיף ד' אנו יודעים שהשדה איננו אחיד בריקמה, ולכן E ו- E R אינם שווים: סך השטף, אם כן, שונה מאפס ולכן גם המטען נטו בתוך המשטח שונה מאפס ניסוח כמותי של צפיפות המטען הזה,,n(x) נובע גם הוא מחוק גאוס עבור dx נתון, חוק גאוס נותן לנו: ( ER E ) A ε R ואם dx מספיק קטן, אפשר לקרב סך המטען בנפח המוכל במשטח שווה לנפח זה כפול צפיפות המטען בתוכו הנפח הוא פשוט A dx ולכן

10 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 ( E E ) R A n( x) A dx ε E R E dx n( x) ε בשיוויון מצד ימין, המנה E) R E- )/dx היא פשוט הנגזרת של השדה (כאשר dx מספיק קטן) נשתמש בתוצאה של סעיף ד': de d x 1 i i 1 5 i 5 5 dx dx A A A n de dx i A 8 - ( x) ε 5ε 1 C m כן, צפיפות המטען אחידה בכל הרצועה היא שלילית כדי שהשדה יקטן ככל שמתקדמים ב- x (מטען חיובי שמתקדם בריקמה רואה יותר ויותר מטען שלילי מאחוריו ופחות ופחות מטען חיובי לפניו, ולכן יש נטו יותר משיכה לאחור, המתנגדת (אך לא מנצחת) את הפרש הפוטנציאלים ששמנו על הריקמה

11 11 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 קיבול של אקסון (5) ראשית לכל מי שתיקן ובצדק: בעת הפעלת פוטנציאל האקטיבציה הנתרן נכנס לתוך התא ולא להפך (כפי שנאמר בטעות בשאלה) שימו לב שמבחינה כמותית נדרשתם למצוא את היחס בין כמות היונים שעברה לכמות היונים בתא לפני פעולתו, ולכן התוצאה הכמותית לשאלה לא תלוי בכיוון הגאומטריה של האקסון, שכזכור, הערנו שהוא בעל צורה גלילית בקירוב, עטוף בממברנת תא מחומר לא-מוליך הציור המתאים לנתונים של השאלה הוא: nm cm µm מבט מהצד חתך הממברנה א נוסחת הקיבול של קבל גלילי בעל אורך, קוטר פנימי a וקוטר חיצוני היא C πκε ln ( a) F כאשר κ הוא המקדם הדיאלקטרי של החומר בקבל (הממברנה במקרה שלנו) לא לבלבל עם המקדם )!k1/(4πε עבור a5-6 m,1m ו- m נקבל ש- /a1 ואז ln(/a) - C π C ב ג אילו הממברנה הייתה עשוייה מחומר מוליך, אי-אפשר היה להחזיק מטען מופרד משני צידיה, והקיבול היה אפס (אם היינו מנסים להפריד מטען שלילי וחיובי משני צידי הממברנה, היו המטענים זורמים דרך המוליך, עד לקיזוז המטען המופרד) כזכור, המטען על קבל Q תלוי בקיבול שלו C ובמתח עליו V לפי הקשר QCV לכן, אם המתח על האקסון הוא,-7mV Q C ד שזה מעט מעל (Q nc מסמן כמה מטען יש על כל אחת מהדפנות בלי לציין סימן) אם בעת פעולת האקסון התוצאה העיקרית היא שהמתח על הממברנה קופץ באופן רגעי מ- 7mV - ל- mv +, הרי שהשינוי נטו במתח על הקבל הוא mv אם זהו השינוי במתח, אז השינוי במטען הוא, QC V כלומר Q

12 1 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 ה ברור שצריך להעביר Q/e N,+e16-19 ion אם כל יון נושא מטען של C יוני נתרן דרך הממברנה כמות היונים בתוך התא שווה לנפח שלו, Vol (נסמן כך כדי לא להתבלבל עם המתח, V), כפול הצפיפות של היונים, n נפח התא הגלילי הוא, כמובן, N N ion Vol πa π 6 1 ( 5 ) m ולכן כמות היונים בתא היא: 11 ( mol) n Vol m 118 mol 1 ( mol ) ion Nion N A N N במולים - במספר יונים - כלומר, החלק היחסי של היונים שעובר דרך הממברנה הוא ion ion כלומר, השינוי בריכוז היונים בתא הוא תוספת של פחות מיון נתרן אחד על כל מאה אלף שבתוך התא

13 1 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה חוקי קירכהוף () נתון המעגל החשמלי הבא: א חוקי קירכהוף נותנים לנו מרחב תמרון גדול בבחירת הלולאות והצמתים מהסוללות, נוח לבחור בשתי הלולאות הפשוטות הבאות: כדי להתחיל ε ε + i 1 A R 1 4Ω i? R Ω i? R Ω i 5A R 6Ω הלולאה משמאל היא החלק השמאלי התחתון של המעגל המלא, הלולאה מימין היא החלק הימני התחתון של המעגל המלא שימו לב שהזרם שעובר בתיל המרכזי, שסומן כאן כ- i, גם הוא נעלם שצריך לפתור נסמן בכל לולאה כיוון בלולאות העליונות נוח לבחור בכיוון הסוללה (מהצד השלילי לחיובי) המשוואות המתארות את הלולאות הן ε 1-4+i ε -5 6+i צד שמאל: ε 1 -i 1 R 1 +i R צד ימין: ε -i R +i R (שימו לב שהזרם i הולך נגד כיוון הלולאות, ולכן i R מופיע בסימן חיובי) נוח לקבל משוואה שלישית לפי חוק הזרמים נוח להסתכל על הצומת שמרכז התיל התחתון לפי הכיוון שנבחר ל- i המצב בצומת זה הוא: כך שהמשוואה בצומת היא i -i 1 -i i 1 +i +i כלומר, הפתרון של i הוא טריוויאלי זכרו אם קיבלנו ערך שלילי, משמעות הדבר שהזרם זורם הפוך לכיוון שהנחנו: הזרם בתיל האנכי האמצעי זורם מלמטה למעלה טוב, אם i 8A- המשוואות לשתי הלולאות נותנות לנו את ε 1 ו- ε: i i 1 i ε 54V ε 1 6V ε ε --4 צד שמאל: - 4+(-8) ε 1 צד ימין: -5 6+(-8) ε

14 14 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 לשם השלמות, נראה כי אפשר לבחור גם בכל החלק התחתון כלולאה למשוואה, במקום אחת המשוואות ללולאות הקטנות במקרה זה אפשר אנו מתעלמים מהתיל המרכזי והנגד שעליו, ומקבלים את הלולאה הבאה: ε ε + i 1 A R 1 4Ω i 5A R 6Ω המשוואה של לולאה זו היא (הפעם אין ברירה, צריך לבחור כיוון נגד אחת הסוללות): ε -ε ε -ε ε -ε 1 -i R +i 1 R 1 ניקח את המשוואה הזו, את המשוואה עבור צד שמאל מהעמוד הקודם, וגם את משוואת הזרמים כמו בעמוד הקודם, נקבל ש- i, 8A- וש- 6V ε 1 נציב במשוואה שמצאנו כאן ε V ε ε ε -ε 1 18 ε -ε כמו שצריך ב את ההתנגדות של הנגד R כבר קל מאוד למצוא נסתכל רק על הלולאה העליונה ונפעיל עליה את חוק המתחים i R A R ε 1 ε R9Ω נבחר את כיוון הלולאה ככיוון הזרם, ואז המשוואה היא ε -ε 1 -i R R ובעזרת התוצאות של סעיף א' ל- ε 1 ו- ε נקבל 18 R R

15 15 פיסיקה כללית לתלמידי ביולוגיה 774 האנרגיה ההופכת על נגד במשך זמן מסויים היא פשוט ההפסק כפול משך הזמן כזכור, ההספק על נגד הוא Pi R במקרה שלנו P8 19Watt RR Ω, ii 8A ולכן, במשך חמש שניות הנגד הופך לחום אנרגיה של UP t19 596Joule ג ד נחזור ללולאה המצויירת בסעיף ב' המתחים של שתי הסוללות הן בכיוונים מנוגדים זה כלפי זה, והמתח נטו על הלולאה הוא ההפרש בין המתחים שלהן אם רק אחת מהסוללות פועלת (והשנייה שקולה לתיל מוליך ללא מתח) המתח על הלולאה הוא פשוט המתח של הסוללה הפועלת במקרה שלנו ברור שהמתח יעלה, כי ε ε< 1 ולכן ε ε< ε- 1 ואם המתח עולה, גם הזרם עולה אגב, שימו לב שיכולנו להגיע למסקנה ש- ε ε< 1 גם ללא החישוב המפורש של המתחים בסעיף א' (כלומר, רק מהתבוננות במעגל) כזכור, סוללה מניעה זרם מהצד החיובי שלה אל הצד השלילי לכן בלולאה העליונה הסוללה ε 1 דוחפת זרם עם כיוון השעון, בעוד שהסוללה ε דוחפת זרם נגד כיוון השעון עצם העובדה שהזרם הכולל i R הוא נגד כיוון השעון (כפי שנתון בשאלה), פירושה שהסוללה השנייה מנצחת, ולכן ε ε< 1 למי שלא יכול להתאפק וחייב לחשב את הזרם החדש על הנגד R, ברור שהוא i new ε /R54/96A